一、基本概念

上面这个式子就叫做二项式定理，又称牛顿二项式定理，该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

 初中高中阶段比较常用的是二次方和三次方

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²

扩展：常见平方和立方和公式及其变形：

(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a²-b²=(a+b)(a-b)
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

二、特点

• 项数：公共有n+1项。
  

• 字母a按照降幂排列，从第一项开始，次数由n减1到0
  

• 字母b按照升幂排列，从第一项开始，次数由0加1到n

例如：

三、二项式系数

n=1时，二项式系数：1，1

n=2时，二项式系数：1，2，1

n=3时，二项式系数：1，3，3，1

n=4时，二项式系数：1，4，6，4，1

n=5时，二项式系数：1，5，10，10，5，1

....

四、练习

【题目描述】

输出 (a+b)^n的二项式系数。

【输入描述】

一行，包含一个整数n。

【输出描述】

一行，输出(a+b)^n的二项式系数，每个数用空格隔开。

【样例输入】

3

【样例输出】

1 3 3 1

附1：递归法求二项式系数之和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int digui(int k,int n)
{
	if(k==0||k==n)return 1;
	else return digui(k,n-1)+digui(k-1,n-1);
}

int main()
{
	int k,n;
	cin>>k>>n;
	cout<<digui(k,n)<<endl;
	return 0;
}

附2：队列求二项式系数表

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

void yanghuiTriangle(int n)
{
    queue<int> q;
    int s,t;

    q.push(1); q.push(1);
    cout << 1<<"\t"<<1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cout <<endl;
        q.push(1);
        cout <<1<<"\t";
        s=q.front();
        q.pop();
        for(int j=2;j<=i;j++)
        {
            t=q.front();  //t为第i-1行第j个元素的值
            q.pop();
            q.push(s+t);   //s+t为第i行第j个元素的值
            cout << s+t <<"\t";  
            s=t;
        }
        q.push(1);
        cout << 1;
    }
    cout <<endl;
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
    yanghuiTriangle(n);
    return 0;
}

五、二项式系数的性质

• 在二项展开式中与首末“等距离”的两项的二项式系数相等。

  C(n,0)=C(n,n) 、C(n,1)=C(n,n-1)

  C(n,k)=C(n,n-k)

• 增减性与最大值

        在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

        如果二项式的幂指数是偶数（总共奇数项），中间一项的二项式系数最大，即n为偶数。

        如果二项式的幂指数是奇数（总共偶数项），中间二项的二项式系数相等并最大，即n为奇数。

• 各项二项式系数之和等于2^n

• 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等

六、二项式系数于系数的区别

系数是指未知数x前面的数据，二项式系数特指C(n,k)这种，比如下面这个题目。

求 (1+2x)^7的第四项的系数和二项式系数。

所以系数是 C(7,3)* 2^3 =280

二项式系数是 C(7,3) =35