一、数的原码、补码和反码

1.机器数与真值

在计算机中，表示数值的数字符号只有0和1两个数码，我们规定最
高位为符号位，并用0表示正数符号，用1表示负数符号。这样，机器中的数值和符号全“数码化”了。为了简化机器中数据的运算操作，人们采用了原码、补码、反码及移码等几种方法对数值位和符号位统一进行编码。为区别起见，我们将在机器中的这些编码表示成为机器 数（如10000001）。而将原来一般书写表示的数称为机器数的真值（如-0000001）。

2.原码表示法

原码表示法是一种简单的机器数表示法，即符号位和数值表示法。设x

为真值，则[x]原为机器数表示。

    例：设X=1100110，则[x]原=01100110；

         X=-1100111,  则[x]原=11100110；

3.反码表示法

正数的反码就是其真值本身，负数的反码，只需对符号位以外各位按位“求反”（0变1，1变0）即可。

    例：设X=1100110，则[x]反=01100110；

         X=-1100111,  则[x]反=10011000；

4.补码表示法

负数用补码表示时，可以把减法转化为加法。正数的补码就是其本身，负数的补码是符号位为1，数值各位取反（0变成1，1变成0），最低位加1。

    例：设X=1100110，则[x]补=01100110；

         X=-1100111,  则[x]补=10011001；

结论：

注意：    真值0的原码和反码表示不唯一，而补码的表示是唯一的，而补码表示是唯一的，即:

[+0]原=0000…0, [-0]原=1000…0

[+0]反=0000…0, [-0]反=1111…1

[+0]补 = [-0]补=000…0

5.编码及其表示范围

不同的编码表示的整数范围是这样的（已N位二进制位）

原码：0~2n-1(无符号)，-2n-1 -1 ~ 2n-1 -1（有符号)

反码：-2n-1 -1 ~ 2n-1 -1（不存在无符号情况)

补码：-2n-1  ~ 2n-1 -1（不存在无符号)

补码表示的范围最大。现在以8位二进制为例说明如下：

原码：00000000 ~11111111  即：0~255（无符号）

      1111111~01111111    即-127~+127（有符号）

反码：10000000 – 01111111 即

    -127~+127 （因为1000000 的 值为-127，11111111 的值为-0）

补码：1000000~01111111 即

    -128 ~ +127 （因为1000000的值-128，1111111的值为-1）。

如果没有具体说明编码形式，则计算机中N位二进制无符号数的范围是0~2n-1-1；有符号数的范围-2n-1  ~ 2n-1 -1

以8位有符号整数为例子：

原码：若X为正数，则最高位（符号位）为0，其余按照二进制数排列；

若X为负数，则最高位为1，后面和正数原码一样。

例: +7:00000111, -7 : 10000111

        +0:00000000, -0 : 10000000

反码：若X为正数，则反码与原码相同

若X为负数，则将原码除符号位取反。

例: -7 : 11111000

补码：反码+1

例: -7 : 11111001

二、数的定点表示和浮点表示

在计算机中，小数点一般有两种表示法：

• ：小数点固定在某一个位置的定点表示法。（定点计算机）

• ：小数点的位置可任意移动的浮点表示法。（浮点计算机）

定点表示法：机器中所有数的小数点位置是固定不变的，因而小数点

就不必使用记号表示出来。实际上，小数点的位置可以固定在任意位置上。

浮点表示法：在数的定点表示法，由于数的表示范围较窄，常常不能

满足各种数值问题的需要。为了扩大数的表示范围，方便用户使用，有些计算机常次啊用浮点表示法。表示一个浮点数，要用两部分：位数和阶码。尾数用以表示数的有效数值；阶码用以表示小数点在该数中的位置。

    计算机多数情况下采用浮点数表示数值，它与科学计数法相似，把一个二进制数通过移动小数点位置表示成阶码和尾码两部分。

                       N=2E*S

    其中：E为N的阶码，是有符号的整数；S为N的尾数，是数值的有效数字，一般规定二进制定点纯小数点形式。

    例如：1011101 B = 2+7 * 0.1011101，

         101.1101 B =  2+3 * 0.1011101，

          0.0101101 B =  2-1 * 0.1011101，

三、科学计数法

科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相

乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。当我们要标记或运算某个较大或较小且位数较多时，用科学记数法免去浪费很多空间和时间。

    19971400000000=1.99714×10^13。

计算器或电脑表达10的幂是一般是用E或e，也就是1.99714E13=19971400000000。