【数论】龟速乘
【数论】杨辉三角
【数论】二项式定理
一、基本概念
上面这个式子就叫做二项式定理，又称牛顿二项式定理，该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
初中高中阶段比较常用的是二次方和三次方
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²
扩展：常见平方和立方和公式及其变形：
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a²-b²=(a+b)(a-b)
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
【数论】均值不等式
均值不等式是高中常见的一个知识点，下面这篇文章做一下简单总结。
1、
其中a,b属于实数R，当且仅当a=b时，等号成立。这个也叫基本不等式
2、
其中a,b属于正实数，当且仅当a=b时，等号成立。
3、
其中a,b属于正实数，当且仅当a=b时，等号成立。
4、
其中a,b属于正实数，当且仅当a=b时，等号成立。
5、不等式链
6、注意使用不等式求最值的条件是：一正、二定、三相等
7、例题一
若实数满足a+b=2， 则3^a+ 3^b 的最小值是____________
【题解】切比雪夫距离
【题目描述】
小C有一个平面！它发现了平面上的两个点，请你求出求它们之间的切比雪夫距离。切比雪夫距离定义为x与y方向坐标差的绝对值较大值。
【输入描述】
四个整数，a,b,c,d。坐标为(a,b)与(c,d)
【输出描述】
输出这两个点的切比雪夫距离。
【样例输入】
0 0 3 4
【样例输出】
4
【数据范围】
0<=a,b,c,d<=100
【数论】常见的距离度量方法
【数论】组合数学—容斥原理
概念
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
２.举例
（１）如果被计数的事物有A，B两类，那么，A类和B类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数-即使A类又是B类元素个数。
那么公式就是：
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
可以用下面的图表示（也叫韦恩图）：
U表示全集（整个集合），A表示符合A类的数量，B表示符合B类的数量，I表示既不符合A也不符合B的数量，AB表示既符合A也符合B的数量，则U-I=A+B-AB。
（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - | C∩A | + |A∩B∩C|
可以用下面的图表示：
U表示整个大集合，A表示符合A类的数量，B表示符合B类的数量，C表示符合C类的数量，I表示既不符合A也不符合B还不符合C的数量，AB表示既符合A也符合B的数量，BC表是同时符合B和C的数量，AC表示既符合A也符合C的数量，ABC表示同时符合A、B、C的数量。
根据容斥原理的定义，先不考虑重叠，把某内容的所有对象数目先计算出来（即A+B+C）；再剔除重复计算的数目，AB这部分被计算了两次，也就是重复了一次，要剪掉，同理BC，AC也要个减掉一次；
那ABC呢？在A+B+C中我们把ABC统计了三次，所以理论上需要减掉两次，但是ABC同时又在AB、AC、BC中，也就是说我们减去AB的时候已经减了一次ABC，减去BC的时候又减了一次ABC，减AC的时候再一次减掉了ABC，即ABC总共减了三次。所以就需要额外再加回来一次。
那么等量关系就变成了U-I=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
3.例题
（1）为了发展体育运动，学校这学期开了体育兴趣课，学生需要从篮球和足球中选，允许两个同时选或同时不选。一个班级有50人，选了篮球的有32人，选了足球的有21人，两种都选了的有17人。问：有多少同学两种都没选。
如上图所示，篮球32人和足球21人，用总数50减去篮球再减去足球，中间重叠的部分被减了两次，所以再加一个中间重叠部分。50-32-21+17=14人。
（2）某校六⑴班有学生55人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有22人，参加排球队的有23人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有11人，足球、游泳都参加的有10人，排球、游泳都参加的有9人，问：三项都参加的有多少人？
我们假设足球队是A，排球队是B，游泳队是C。那么根据公式 |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - | C∩A | + |A∩B∩C| 可以得出。
55 = 22+23+24-11-10-9 + |A∩B∩C| 。该式子计算得：16
（3） 假设班里有50名学生，每个人都必须选修一门运动科目，选修篮球的有15人，选修足球的有20人，选修乒乓球的有30人，同时选修篮球和足球的有10人，同时选修乒乓球和足球的有18人，同时选修篮球和乒乓球的有12人，问选修了三门科目的有多少人？
根据上面的公式，可以15+20+30-10-18-12 + x =50。得x=25。
思考一下？
4.常见题目类型：
（1）排列问题：
由0到9的数字组成排列，要求第一个数大于1，最后一个数小于8，一共有多少种排列？
（2）序列问题：
长度为n的由数字0，1，2组成的序列，要求每个数字至少出现1次，这样的序列有多少种？
（3）方程组整数解问题
给出一个方程：x1+x2+x3+x4+x5+x6=20, 对于每个 0<=xi<=8，求解这个方程组有多少组解。
（3）区间内互素个数
给出整数n和r。求区间[1;r]中与n互素的数的个数。
(4)至少一个被整除问题
给出n个整数ai和整数r。求在区间[1;r]中，至少能被一个ai整除的数有多少。
(5)匹配字符串个数问题
给出n个匹配串，它们长度相同，其中有一些’?’表示待匹配的字母。然后给出一个整数k，求能正好匹配k个匹配串的字符串的个数。更进一步，求至少匹配k个匹配串的字符串的个数。
(6)路径数据问题
在一个的n*m方格阵中，有k个格子是不可穿越的墙。一开始在格子(1,1)（最左下角的格子）中有一个机器人。这个机器人只能向上或向右行进，最后它将到达位于格子(n,m)的笼子里，其间不能经过障碍物格子。求一共有多少种路线可以到达终点。
(7)数组四元组问题
给出n个数a1,a2,a3....an，从其中选出4个数，使它们的最大公约数为1，问总共有多少中取法。
(8)和睦数三元组个数问题
（9）错排问题
【题解】吃糖果
【题目描述】
小明终于从小红手里赢走了所有的糖果，小明转变吃掉所有糖果，但是小明吃糖果有个特殊癖好，就是不喜欢将一样的糖果放在一起吃，喜欢先吃一种，下一次吃另外一种。试问小明是否存在一种吃糖果的顺序使得他能把所有的糖果都吃完。
【输入描述】
第一行有一个整数T，接下来T组数据，每组数据占两行，第一行是一个整数N （0<N<=1000000）,第二行是N个整数，表示N种糖果的数目Mi(0<Mi<=1000000)
【输出描述】
对于每组数据，输出一行，包含一个“YES”或者“NO”。
【样例输入】
2 3 4 1 1 5 5 4 3 2 1
【样例输出】
NO YES