1. 概念

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

     ２.举例

（１）如果被计数的事物有A，B两类，那么，A类和B类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数-即使A类又是B类元素个数。

那么公式就是：

             |A∪B|  = |A| + |B| - |A∩B| 

可以用下面的图表示（也叫韦恩图）：

U表示全集（整个集合），A表示符合A类的数量，B表示符合B类的数量，I表示既不符合A也不符合B的数量，AB表示既符合A也符合B的数量，则U-I=A+B-AB。

（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

            |A∪B∪C|  = |A| + |B| + |C|  - |A∩B| -  |B∩C| - | C∩A | + |A∩B∩C|

可以用下面的图表示：

U表示整个大集合，A表示符合A类的数量，B表示符合B类的数量，C表示符合C类的数量，I表示既不符合A也不符合B还不符合C的数量，AB表示既符合A也符合B的数量，BC表是同时符合B和C的数量，AC表示既符合A也符合C的数量，ABC表示同时符合A、B、C的数量。

根据容斥原理的定义，先不考虑重叠，把某内容的所有对象数目先计算出来（即A+B+C）；再剔除重复计算的数目，AB这部分被计算了两次，也就是重复了一次，要剪掉，同理BC，AC也要个减掉一次；

那ABC呢？在A+B+C中我们把ABC统计了三次，所以理论上需要减掉两次，但是ABC同时又在AB、AC、BC中，也就是说我们减去AB的时候已经减了一次ABC，减去BC的时候又减了一次ABC，减AC的时候再一次减掉了ABC，即ABC总共减了三次。所以就需要额外再加回来一次。

那么等量关系就变成了U-I=A+B+C-AB-AC-BC+ABC

    3.例题

（1）为了发展体育运动，学校这学期开了体育兴趣课，学生需要从篮球和足球中选，允许两个同时选或同时不选。一个班级有50人，选了篮球的有32人，选了足球的有21人，两种都选了的有17人。问：有多少同学两种都没选。

如上图所示，篮球32人和足球21人，用总数50减去篮球再减去足球，中间重叠的部分被减了两次，所以再加一个中间重叠部分。50-32-21+17=14人。

（2）某校六⑴班有学生55人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有22人，参加排球队的有23人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有11人，足球、游泳都参加的有10人，排球、游泳都参加的有9人，问：三项都参加的有多少人？

我们假设足球队是A，排球队是B，游泳队是C。那么根据公式　 |A∪B∪C|  = |A| + |B| + |C|  - |A∩B| -  |B∩C| - | C∩A | + |A∩B∩C|　可以得出。

    55 = 22+23+24-11-10-9 +  |A∩B∩C| 。该式子计算得：16

（3）   假设班里有50名学生，每个人都必须选修一门运动科目，选修篮球的有15人，选修足球的有20人，选修乒乓球的有30人，同时选修篮球和足球的有10人，同时选修乒乓球和足球的有18人，同时选修篮球和乒乓球的有12人，问选修了三门科目的有多少人？

    根据上面的公式，可以15+20+30-10-18-12 + x =50。得x=25。

    思考一下？

 4.常见题目类型：

（1）排列问题：

    由0到9的数字组成排列，要求第一个数大于1，最后一个数小于8，一共有多少种排列？

（2）序列问题：

长度为n的由数字0，1，2组成的序列，要求每个数字至少出现1次，这样的序列有多少种？

（3）方程组整数解问题

   给出一个方程：x1+x2+x3+x4+x5+x6=20, 对于每个 0<=xi<=8，求解这个方程组有多少组解。

（3）区间内互素个数

       给出整数n和r。求区间[1;r]中与n互素的数的个数。

(4)至少一个被整除问题

       给出n个整数ai和整数r。求在区间[1;r]中，至少能被一个ai整除的数有多少。

(5)匹配字符串个数问题

       给出n个匹配串，它们长度相同，其中有一些’?’表示待匹配的字母。然后给出一个整数k，求能正好匹配k个匹配串的字符串的个数。更进一步，求至少匹配k个匹配串的字符串的个数。

(6)路径数据问题

    在一个的n*m方格阵中，有k个格子是不可穿越的墙。一开始在格子(1,1)（最左下角的格子）中有一个机器人。这个机器人只能向上或向右行进，最后它将到达位于格子(n,m)的笼子里，其间不能经过障碍物格子。求一共有多少种路线可以到达终点。

(7)数组四元组问题

       给出n个数a1,a2,a3....an，从其中选出4个数，使它们的最大公约数为1，问总共有多少中取法。

(8)和睦数三元组个数问题

（9）错排问题

一、欧几里得算法

我们前面学过求最大公约数的算法：欧几里得算法（又叫辗转相除法） ，一般缩写是gcd，在C++中经常写成如下形式：

int gcd(int a,int b)     {        if(a%b==0)           return b;       else           return gcd(b,a%b);   }

原理就是代码中比较核心的 gcd(b，a%b)，这个定理用文字描述就是:

用a除以b（这里是a>b,当然，在程序编程中，求两个数的最大公约数，可以不限a和b的大小，a<b也就是多一次循环）得到结果q和余数r，再用除数b除以余数r 再得到一个余数，再用除数除以余数，…如此循环，直到余数为0，那么此时的除数就是最大公因数。

想要证明gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，需要简单了解下面两个引理：

• 若d是a和b的公约数，那么d也是b和c的公约数（c为a%b）

• 若d是b和c的公约数（c为a%b），那么d也是a和b的公约数

这两个引理的是什么意思呢，拿第一个来说；

假设一个数d是a的因子，也就是a=m*d，同时也是b的因子，b=n*d，那么a%b = a-w*b =  (m-w*n)*d；

由此可得，a的因子集合、b的因子集合和c的因子集合是相同的；

然后利用上述定理当余数为0的时候，除数就是最大公约数；

二、扩展欧几里得算法

    从字面上看，扩展欧几里得算法就是把欧几里得算法进行了扩展，不仅能求a和b的最大公约数，还其他功能，比如:

• 求ax+by=m的任意一组解，最小整数解。

• 求模逆元（模反元素）

为了了解学习上面的公式，需要先了解一个裴属定理

1. 样例

   
   
   

#include<iostream>  using namespace std;  int main(){  	cout<<(1&1)<<endl; //1   	cout<<(1&-1)<<endl; // 1   	cout<<(-1&-1)<<endl; //-1   	cout<<(-2&-3)<<endl; //-4   	return 0;  }

2.解释

 1&1：

      1    0000 0001  

      &   

      1    0000 0001  

-----------------------

      1    0000 0001   

 1&-1：

     1    0000 0001  

      &   

     -1   1111 1111  （补码）

-----------------------

      1    0000 0001   

解释：1的补码是1111 1111，然后进行逻辑与运算即可。

 -1&-1：

     -1   1111 1111  （补码）

      &   

     -1   1111 1111  （补码）

-----------------------

           1111 1111   

解释：负数和负数的逻辑与运算比较特殊。

-1 & -1 的直接结果是1111 1111，出符号位以外，剩下111 1111

然后把最低位减一得： 111 1110

然后按位取反得： 000 0001, 也就是1

加上符号就是-1，所以最后结果是-1

 -2&-3：

     -2   1111 1110 （补码）

      &   

     -3   1111 1101  （补码）

-----------------------

           1111 1100   

解释：

-2 & -3 的直接结果是1111 1100  ，出符号位以外，剩下111 1100

然后把最低位减一得： 111 1011

然后按位取反得： 000 0100, 也就是4

加上符号就是-1，所以最后结果是-4

1. 前言

   所谓分治算法就是指分而治之，即将较大规模的问题分解成几个较小规模的问题，通过对较小问题的求解达到对整个问题的求解。当我们将问题分解成两个较小问题求解时的分治方法称为二分法。

   比如，我们玩过最简单的猜数游戏，一开始，对方先想一个1000以内的正整数，然后你给出一个数x。对方只要回答“比x大”或者“比x小”或者“猜中”。

   开始猜测是1到1000之间，你可以先猜500。运气好的一次猜中，如果比500大，显然结果不是1到500之间，那么下一次就猜501到1000。如果比500下，那么下次就猜1到499。只要每次都猜测区间的中间点，这样就可以把猜测区间缩小一半。这样不超过10次询问区间就可以缩小为1，答案就会猜中了，这就是二分的基本思想。

2. 基本思想及策略

   分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

    分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

     如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

应用

（1）二分搜索

 （11）一元三次方程求解

快速排序：

void qsort(int left, int right){  	int i=left; j =right;  	mid=a[left+right]/2;  	while(i<=j){  		while(a[i]<mid) i++;   		while(a[j>mid]) j--;  		if(i<=j){  			swap(a[i],a[j]);  			i++;  			j--;  		}  	}  	if(left<j) qsort(left,j);  	if(i<right) qsort(i,right);  }

一元三次方程求解：

描述

有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

输入

一行，包含四个实数a，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。

输出

一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后2位。

样例输入

1.0 -5.0 -4.0 20.0

样例输出

-2.00 2.00 5.00