【题目描述】

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。

小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老 师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。 假设比较两个元素的时间为 O(1)，则插入排序可以以 O(n 2 ) 的时间复杂度完成长 度为 n 的数组的排序。不妨假设这 n 个数字分别存储在 a1, a2, · · · , an 之中，则如下伪 代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式： 

这下面是 C/C++ 的示范代码

for (int i = 1; i <= n; i++)  	for (int j = i; j>=2; j‐‐)  		if ( a[j] < a[j‐1] ) {  			int t = a[j‐1];  			a[j‐1] = a[j];  			a[j] = t;  		}

这下面是 Pascal 的示范代码

for i:=1 to n do  	for j:=i downto 2 do  	 if a[j]<a[j‐1] then   		begin   			t:=a[i];   			a[i]:=a[j];    			a[j]:=t;   		end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业： 

H 老师给了一个长度为 n 的数组 a，数组下标从 1 开始，并且数组中的所有元素均 为非负整数。小 Z 需要支持在数组 a 上的 Q 次操作，操作共两种，参数分别如下： 

1 x v : 这是第一种操作，会将 a 的第 x 个元素，也就是 ax 的值，修改为 v。保证 1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ v ≤ 109。注意这种操作会改变数组的元素， 修改得到的数组会被保留，也会影 响后续的操作。.

 2 x : 这是第二种操作，假设 H 老师按照上. 面. 的. 伪. 代. 码. 对 a 数组进行排序，你需要 告诉 H 老师原来 a 的第 x 个元素，也就是 ax，在排序后的新数组所处的位置。保证 1 ≤ x ≤ n。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 1 的操作次数不超过 5000。 

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决 这个问题。

【输入格式】

从文件 sort.in 中读入数据。 

输入的第一行包含两个正整数 n, Q，表示数组长度和操作次数。保证 1 ≤ n ≤ 8, 000, 1 ≤ Q ≤ 2 × 105。 输入的第二行包含 n 个空格分隔的非负整数，其中第 i 个非负整数表示 ai。保证 1 ≤ ai ≤ 109。 接下来 Q 行，每行 2 ∼ 3 个正整数，表示一次操作，操作格式见题目描述。

【输出格式】

输出到文件 sort.out 中。 对于每一次类型为 2 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

【样例1输入】

3 4  3 2 1  2 3  1 3 2  2 2  2

【样例1输出】

1  1  2

【样例1解释】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序 结束后所处的位置分别是 3, 2, 1。

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序 结束后所处的位置分别是 3, 1, 2。 注意虽然此时 a2 = a3，但是我们不能将其视为相同的元素。

【数据范围】

对于所有测试数据，满足 1 ≤ n ≤ 8, 000, 1 ≤ Q ≤ 2×105, 1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ v, ai ≤ 109。 

对于所有测试数据，保证在所有 Q 次操作中，至多有 5000 次操作属于类型一。 各测试点的附加限制及分值如下表所示。

山东普及组分数线55

小学组43

首先：

  常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^2)＜Ο(n^3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

时间复杂度可以简单理解为最多执行次数。

一、O(1)

一般情况下没有其他循环和递归调用，时间复杂度一般都是O(1)。比如下面这样的代码

#include<iostream>  using namespace std;  int main(){  	int a=0,b=0,x=0,y=0;  	cin>>a>>b;  	x=a+b;  	y=a-b;  	if(x>y){  	 cout<<x;  	}else{  	 cout<<y;  	}  	return 0;  }

二、O(n)

一般情况下，一个循环的时间复杂度是O(n)，多个循环并列也是取循环次数最多的那个作为时间复杂度。当数据量增大n倍，耗时增大n倍。

#include<iostream>  using namespace std;  int main(){  	int a=n;  	cin>>n;  	for(int i=0;i<n;i++){  	    cout<<i;  	}  	return 0;  }

三、O(n2)、O(n*m)

双重循环嵌套一般就是O(n2)。当数据量增大n倍，耗时增大n方倍。

#include<iostream>  using namespace std;  int main(){  	int n=0;  	cin>>n;  	for(int i=0;i<n;i++){  	    for(int j=0;j<n;j++){  	        cout<<i;  	    }  	}  	return 0;  }

如果循环嵌套外层循环是n，内层循环是m。

#include<iostream>  using namespace std;  int main(){  	int n=0,m=0;  	cin>>n>>m;  	for(int i=0;i<n;i++){  	    for(int j=0;j<m;j++){  	        cout<<i;  	    }  	}  	return 0;  }

这个时候的时间复杂度是O(n*m)。

四、O(logn)

当数据增大n倍时，耗时增大logn倍。

#include<iostream>  using namespace std;  int main(){  	int n=0;  	cin>>n;  	for(int i=0;i<n;i++){  	   i*=2;  	   cout<<i;  	}  	return 0;  }

本来循环次数是n，现在i*=2了。那么答案是log(2)(n)。

反着想也可以，原来循环n次，现在每次i变成原来的2倍，也就是2的k次方等于n。那么正好就是log(2)(n)，即O(log n)

或者下面这样：

#include<iostream>using namespace std;  int main(){  int n=0;  cin>>n;  while((n=n/2)>0){      cout<<n;  }   return 0;  }

时间复杂度也是O(logn)

五、O(nlogn)

一般归并排序和堆排序是O(nlogn)。 

常见的是外层循环的时间复杂度是n，内层循环的时间复杂度是logn。

比如下面这样：

for(int i=1; i<=n; i++)  {  	for(int j=1; j<=n; j+=i)  	{  		.....   //复杂度为O(1);  	}  }

注意：外层循环是n，内层循环j每次都增加i。